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　　R1+R2=R3+R4=R，M23=M。
　　将式(2)代到式（1)中即可得
　　US=(R+JwL+J^)/1-J^M12，
　　0=(R+JML+J~c)12-JwM人。
　　引入广义失谐因子中Q为品质因数,=^,同时因为
　　Rw0CRJwLR'JwCR0
　　Rw0Jw0CRw/
　　R[1+JQ(-wW0)]=R(1+J^)，
　　可得
　　US=R(1+J^)11-jwM12，
　　0=R(1+Jf)12-JwM^。
　　解出式(4)的方程组得
　　wMR(1+治2+(定义耦合因数n=WM,由式(5)可得到接收线R圈的电压及其模值wMJnUs(1+浴2+(1+必2+"2nUs（1-^+n2)2+4,
　　对接收线圈电压模值求导，令
　　匕=0和=±槡n2-1处得到电压模值的极值
　　:1。
　　那么接收线圈归一化电压
　　a=i=2n⑷
　　Umax槡(1+n2)2+2(1-n2U2+，。
　　由式(9)得到如图4所示的归一化电压的频率响应曲线。由归一化电压a与失谐因子^和耦合因数n的关系可知：
　　1)在n>1处存在频率分裂现象，随着耦合因数n的减小，频率分裂也减小并收敛在谐振频率处,在该点n=1,称之为临界耦合。
　　2)在n>1处，虽然存在频率分裂现象,但是不管在哪个谐振频率处，系统均能实现最大传输效率;耦合因数大于临界耦合我们称之为过耦合。
　　3)在n<1处，即耦合因数小于临界耦合我们称之为欠耦合;在欠耦合处系统传能效率急剧下降。
　　4)临界耦合点代表着系统最大传能距离，即在该点系统仍能实现电能的最大传输效率。?
　　2实验研究
　　为了验证无线电能传输的频率特性和频率分裂现象规律，本文在图1模型的基础上结合相关的理论开发了磁耦合谐振式无线电能传输实验系统，如图5所示。
　　该实验系统由信号发生器、功率放大器、电磁发射系统和电磁接收系统等组成。功率放大器是采用NXP公司的MOSFET芯片实现的E类功放，可以实现信号发生器信号的功率放大，该功放工作频率范围是2?28MHz。电磁发射、接收系统由参数相同螺旋线圈组成，其中激磁线圈和负载线圈电感Li=L4=1pH,为了达到谐振条件其上分别串接电感Ci=C4=240pF;发射线圈和接收线圈的电感[2=[3=40^凡分布电容^2=^3=6戸尸。上述参数通过Fluke高频电桥测量得到其高频状态下的电阻值、电容值和电感值，测量误差5%。负载首先是一个15W灯泡，该灯泡在0.5m距离被点亮,表明能量的无线传输的成功实现，而在下面的实现中灯泡将被50ft标准负载替换。
　　图5无线电能传输实验样机
　　Fig.5Experimentdeviceofwirelesspowertransmission
　　如图6所示为发射线圈与接收线圈示意图。首先，在保持谐振频率（10.27MHz)固定不变的情况下，由近及远改变发射线圈与接收线圈的距离，得到图7中所示的频率固定的效率一距离曲线（功率测
　　量采用美国BIRD公司的BIRD43型号功率计，其误差为6%)。
　　发射线圈接收线圈
　　负载
　　线圈
　　距离
　　图6发射线圈与接收线圈示意图
　　Fig.6Transmitterandreceiverdiagram
　　由图7可知：电能传输效率随着距离的增大先增大然后减小，在距离为30cm的位置传输效率最大，达到80%。因此实验系统电能传输效率并非保持在谐振频率下一直处于极大值，而是在临界耦合(距离为30cm)处最大。